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如(rú)果(guǒ)你(nǐ)家(jiā)墙(qiáng)上(shàng)或(huò)者(zhě)地(de)面(miàn)上(shàng)铺(pù)了(le)瓷(cí)砖(zhuān)，你(nǐ)可(kě)以(yǐ)仔(zǐ)细(xì)观(guān)察(chá)一(yī)下(xià)。别(bié)小(xiǎo)瞧(qiáo)了(le)这(zhè)样(yàng)一(yī)个(gè)不(bù)起(qǐ)眼(yǎn)的(de)现(xiàn)象(xiàng)，它(tā)背(bèi)后(hòu)是(shì)数(shù)学(xué)领(lǐng)域中(zhōng)一(yī)个(gè)重(zhòng)要(yào)的(de)概(gài)念(niàn)，被(bèi)称(chēng)为(wèi)“铺(pù)砌(qì)”。一(yī)直(zhí)以(yǐ)来(lái)，很(hěn)多(duō)数(shù)学(xué)家(jiā)一(yī)直(zhí)在(zài)研(yán)究(jiū)，什(shén)么(me)样(yàng)的(de)几(jǐ)何(hé)形(xíng)状(zhuàng)可(kě)以(yǐ)通(tōng)过(guò)组(zǔ)合(hé)无(wú)缝(fèng)隙(xì)地(de)填(tián)满(mǎn)无(wú)限(xiàn)的(de)平(píng)面(miàn)。

铺(pù)砌(qì)可(kě)以(yǐ)分(fēn)为(wèi)周(zhōu)期性和非周期性铺砌。比如我们熟悉的三角形、正方形或者六边形，它们不断重复排列，就能周期性地铺砌二维空间。如果不限于二维平面，在三维空间中，立方体也可以实现周期性铺砌。

图1：三角形、正方形、六边形可以周期性地铺砌平面。

周期性铺砌的一大特点是，它的整体图案可以通过平移或者旋转重现出来。我们可以想象一张无限大的黑白格的国际象棋棋盘，如果把它向右再向下平移两格，移动过后的图案和原先完(wán)全一(yī)样(yàng)。

图(tú)2：一(yī)个(gè)无(wú)限(xiàn)延(yán)伸(shēn)的(de)国(guó)际(jì)象(xiàng)棋(qí)棋(qí)盘(pán)，可(kě)以(yǐ)通(tōng)过(guò)平(píng)移(yí)来(lái)获(huò)得(de)完(wán)全一(yī)样(yàng)的(de)图(tú)案(àn)。

相(xiāng)比(bǐ)之(zhī)下(xià)，非(fēi)周(zhōu)期(qī)性(xìng)铺(pù)砌(qì)就(jiù)要(yào)复(fù)杂(zá)得(de)多(duō)。因(yīn)为(wèi)它(tā)需(xū)要(yào)非(fēi)重(zhòng)复(fù)性(xìng)的(de)排(pái)列(liè)，无(wú)论(lùn)你(nǐ)怎(zěn)么(me)平(píng)移(yí)或(huò)者(zhě)旋(xuán)

转(zhuǎn)都(dōu)无(wú)法(fǎ)重(zhòng)现(xiàn)原(yuán)本(běn)的(de)图(tú)案(àn)。数(shù)学(xué)家(jiā)最(zuì)初(chū)发(fā)现(xiàn)的(de)非(fēi)周(zhōu)期(qī)性(xìng)铺(pù)砌(qì)由(yóu)超(chāo)过(guò)两(liǎng)万(wàn)种(zhǒng)形(xíng)状(zhuàng)组(zǔ)成(chéng)。而(ér)最(zuì)著(zhe)名的(de)一(yī)个(gè)例(lì)子(zi)叫作彭罗斯铺砌，罗杰·彭罗斯成功用两种不同的菱形实现了非周期性铺砌。

图3：由两种菱形组成的彭罗斯铺砌。

解决铺砌问题的典型思路是找到一些带拐角的形状进行拼接，就像二维平面中的三角形、正方形、六边形等等，这很符合直觉。如果让一些传统铺砌系统中形状的边弯曲，让拐角变“圆”时，这些被“软化”过的形状就没法不留缝隙地进行铺砌了。

然而，带拐角的形状在自然界中并不常见。最近，在一项发表在PNASNexus上的新研究中，数学家发现了一类新的形状，可以在没有任何拐角的情况下铺砌空间。这些新的几何形状带有圆角，他们将这些形状称为“软细胞”。

图4：新研究将一类新的可以无缝隙铺砌空间的形状命名为软细胞。第一行显示了等效于常规三角形的软铺砌，第二行显示了等效于长方形的软铺砌，第三行显示了等效于六边形的软铺砌。（图/Domokos et. al. / PNAS Nexus）

软细胞的特点是，这些形状在拐角数量最少的(de)情(qíng)况(kuàng)下(xià)能(néng)无(wú)缝(fèng)隙(xì)铺(pù)砌(qì)空(kōng)间(jiān)。在(zài)二(èr)维空间里，所有软细胞都必须至少有两个“尖角”。而在三维空间中，软细胞变得更复杂但也更有趣了。它们竟然可以完全不带尖角，也能无缝隙地铺砌整个空间。

其实放眼自然界，这种形状的铺砌模式完全不是新鲜事儿。小到肌细胞和洋葱鳞茎的层，再到斑马条纹，甚至河流岛屿的形状，都有这样的铺砌模式。而一个最经典的软细胞铺砌的例子就是鹦鹉螺的壳室。从横截面来看，鹦鹉螺的壳室看起来像是有着两个尖角的二维软细胞，但实际上，在三维空间中，它的壳室没有任何拐角。

图5：鹦鹉螺腔室的几何形状。（图/Domokos et. al./ PNAS Nexus）

图6：软细胞拥有最小数量的尖角，并且能没有缝隙地铺砌空间。在自然界和建筑中都存在有着两个尖角的软细胞的例子。第1列显示的是几何软细胞示例，第2、3列显示的是自然界的软细胞示例，第4列显示的是建筑师扎哈·哈迪德的建筑设计。（图/Wikimedia Commons, Google Earth, Krisztina Regős.）

其实，当一些建筑师想要避免拐角时，他们也会凭直觉创造出这些形状，比如著名建筑师扎哈·哈迪德被称为“曲线女王”，她的设计就以大胆的曲线而闻名。这些建筑师在不知不觉中已经创造出了“软细胞”。

这项发现同样带来了几何学和生物学的一系列问题。目前，科学家还不清楚大自然究竟是如何利用这些“软”的形状来实现几何复杂性的。他们推测，自然通常会避免拐角，可能是因为拐角的扭折在形变能(néng)上(shàng)的(de)成(chéng)本(běn)很(hěn)高(gāo)，也(yě)有(yǒu)可(kě)能(néng)会(huì)带(dài)来(lái)某(mǒu)些(xiē)结(jié)构(gòu)性(xìng)的(de)劣(liè)势(shì)。这(zhè)可(kě)能(néng)是(shì)某(mǒu)种(zhǒng)“自(zì)然(rán)的(de)智(zhì)慧(huì)”。

本(běn)文为(wèi)·创(chuàng)作(zuò)培(péi)育(yù)计(jì)划(huà)扶(fú)持(chí)作(zuò)品(pǐn)

作(zuò)者(zhě)名称(chēng)：沈(chén)雯(wén)

审(shěn)核(hé)：刘(liú)歆(xīn) 中(zhōng)国(guó)科(kē)学(xué)院(yuàn)数(shù)学(xué)与(yǔ)系(xì)统(tǒng)科(kē)学(xué)研(yán)究(jiū)院(yuàn) 研(yán)究(jiū)员(yuán)

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